Wir beginnen mit diesem Video ein neues Kapitel unserer Vorlesung und zwar beschäftigen wir uns

in den nächsten Wochen mit der sogenannten Vektor-Analysis. Das heißt, wir werden uns in

hochdimensionalen Räumen verschiedene mathematische Werkzeuge anschauen, die sie hoffentlich dann für

ihr Physikstudium passend nutzen können. Und insbesondere werden wir uns mit Multiliniarform,

Tensoren und Differentialformen beschäftigen. Und insbesondere die Letzteren, die Differentialform,

die werden wir brauchen, um später eine mehrdimensionale Integration einzuführen,

nämlich das Integrieren über sogenannte Untermannig-Faltigkeiten des RON. Das kann

man sich so vorstellen wie eine Oberfläche, die in einem dreidimensionalen Raum liegt und über

die möchte man integrieren. Die muss nicht notwendigerweise planar sein, also keine Fläche

im Sinne einer 2D-Ebene, sondern es kann auch eine kurvige gebogene Oberfläche sein, zum Beispiel eine

Kugeloberfläche. Und über solche Mannig-Faltigkeiten wollen wir auch integrieren können und dafür

benötigen wir eben den Begriff der Differentialform. Das praktische für Sie als Physikstudierende ist,

dass wenn wir dieses Differentialform-Kalkül eingeführt haben, lassen sich sehr viele spannende

physikalische Theorien, wie zum Beispiel die Elektrodynamik oder die allgemeine Relativitätstheorie,

eleganter formulieren und auch einfacher zu verstehen. Und dafür brauchen wir diese Konzepte.

Mir ist sehr wohl bewusst, dass das Kapitel Vektoranalysis ein relativ abstraktes Kapitel

ist. Wir werden dort vor allem viel über Mathematik sprechen. Die Anwendung wird etwas

weiter in den Hintergrund rücken, weil es eben wirklich um die mathematischen Werkzeuge geht.

Aber wie immer werden wir versuchen, hier und dort das Ganze mit anschaulichen Beispielen

anzureichern, sodass sie nicht in der Abstraktion verloren gehen, sondern immer versuchen zu verstehen,

was ist die Motivation dahinter und warum muss ich dieses Werkzeug kennenlernen. Wir beginnen

unser Kapitel Vektoranalysis mit dem Unterkapitel der Multilinearform. Und bei den Multilinearformen

ist es so, dass es eigentlich eine sehr einfache Verallgemeinerung des Konzepts der Linearform.

Das heißt, was wir im letzten Semester schon gesehen haben, das war, wenn wir beliebige

Vektorräume V und W betrachtet haben, also für beliebige Vektorräume, nehmen wir sie

mal V und W, die über einem Körper definiert sind, die über einem Körper und den nennen

wir mal ganz allgemein K. Wir denken dann in der Regel an die reellen oder komplexen Zahlen,

muss aber nicht. Die über einem Körper definiert sind, haben wir bereits Linearform eingeführt,

eine lineare Abbildung. Und das waren einfach nur lineare Abbildungen von V nach W. Wir

könnten sie mal V nennen. Und was hieß linear? Linear heißt, dass die Null wieder auf die

Null des anderen Vektorraums abgebildet wird und dass wir Additionen linear auseinanderziehen

können, sowie skalare Multiplikationen mit Skalaren aus dem Körper K. Jetzt ist die Idee,

wir kennen Linearform, wir wollen das ganze für allgemein an, auf sogenannte Multilinearform

oder auch die sogenannten K-Multilinearformen. Und was ist die Idee dabei? Die Idee wird

es sein, diesen Begriff zu verallgemeinern. Der Form, dass wir jetzt eine Abbildung nicht

von einem in einen anderen Vektorraum, sondern von K-Vektorräumen in einen anderen Vektorraum

betrachten. Darum nennt man das auch K-Multilinear. Und die Abbildung muss in jedem Argument dieser

Vektorräume linear sein. Das ist die ganze Idee schon dahinter. Also, sodass wir anstatt

einem gleich K aus N Vektorräume betrachten. Die können wir jetzt

von V1 bis VK über dem Körper K immer noch. Und dann das Konzept der Linearität eben auf

neue Abbildungen übertragen, die K-Argumente haben. Wir nennen dieses Konzept die Multilinearität

auf Abbildungen der Form. Wir nennen sie wieder V, die Funktion. Die bildet jetzt aber nicht

ab von V nach W, sondern eben von diesen K-Vektorräumen V1 bis VK in den Zielvektorraum W. Genau. Und

das Einzige ist jetzt, das sind Abbildungen, die nicht nur ein Argument haben, in dem es

linear ist, sondern sie haben kleinen K, viele Argumente. Und es muss in jedem der Argumente

immer noch linear sein. Das ist die ganze Idee. Und wir werden uns da spezielle Abbildungen

anschauen. Wir werden auch Theoreme und Eigenschaften dieser Multilinearform beweisen. Bevor wir das

Ganze doch machen, wollen wir uns erstmal mit den Funktionräumen beschäftigen, in

denen solche Funktionen leben. Das sind die sogenannten Dualräume. Und das sind eben

die Räume, die lineare Abbildung und linear-stetige Abbildung zusammenfassen. Das heißt, darum